To ligninger med to ubekendte


Der er flere tilfælde, hvor man står med to ligninger, der hver især har to ubekendte. Det kaldes to ligninger med to ubekendte. Et typisk eksempel er, at man skal finde skæringspunktet mellem to linjer eller parabler. Der er altså to ligninger med hver to ubekendte.

Når man har to ligninger, og det kunne f.eks. være og , er der nogle fremgangsmåder, vi kan bruge:

Determinantmetoden

Denne metode er utrolig simpel, men fylder en del på papiret. Det, vi skal, er at finde de enkelte determinanter, og så beregne x og y.

Det første, man skal, er at skrive ens ligninger op over hinanden. Man skal sørge for, at de enkelte led står oven på hinanden. Det vil betyde, at alle x'erne skal stå oven på hinanden, alle y'erne skal stå oven på hinanden, og de resterende tal skal stå oven på hinanden på højre side af lighedstegnet. Herefter kalder man de enkelte led enten a, b eller c. I ligning 1 kalder man dem a1, b1 og c1, og i ligning 2 kalder man dem a2, b2 og c2.

Lad os tage udgangspunkt i eksemplet før:

Opskrivning af determinantmetoden

Her har vi sat de enkelte ligninger op og navngivet dem bogstaver.

Nu er vi i stand til at udregne de tre determinanter. Vi skal udregne tre determinanter, som hedder Dx, Dy og D. Her vil vi kun lave eksemplet, men samme fremgangsmåde kan bruges til alle ligninger:

Determinanterne

Det, der sker i udregningerne, er, at der ganges over kryds. Under Dx ganges 5 med -2, idet man ganger C1 og B2 sammen, hvorefter C2 ganget med B1 trækkes fra. Kort sagt ganges der over kryds med et minus mellem de to par.

Nu er vi klar til at beregne x og y:



Værdien x findes ved at dividere Dx med D, og værdien y findes ved at dividere Dy med D.

Nu har vi fundet løsningen på vores ligning ved hjælp af determinantmetoden.

 

Substitutionsmetoden

Når vi bruger substitutionsmetoden, finder vi ud af, hvad vi kan erstatte enten x eller y med. Hvis vi tager udgangspunkt i vores eksempel fra før, kan vi tage den første ligning og finde ud af, hvad x kan være:

Isolering

Nu kan vi på alle tidspunkter erstatte x med denne værdi. Det gør, at vi i en ligning med x og y kun får y'er.

Herefter kan man isolere ligningen, som var det en normal ligning.

 

Lige store koefficienters metode

Denne metode handler om, at vi enten skal have x eller y til at være lige store. På den måde får vi enten x- eller y-værdien til at gå ud af ligningen, og så kan vi begynde at regne. Da det altid er lovligt at gange på begge sider af lighedstegnet af en ligning, fungerer denne metode fint.

Det, vi skal, er at finde den laveste fællesnævner, som enten x eller y går op i. Det er samme tankegang som ved brøkregning.

Nedenfor har vi taget udgangspunkt i vores to ligninger, hvor vi finder en fælles x-værdi:

Koefficientmetode

 

Det, vi nu mangler, er at finde x, som er den eneste ubekendte, vi har tilbage, da vi kender y.

Vi kan derfor sætte denne værdi ind i en af ligningerne:



Og da vi kender y:



Til slut isolerer vi x:

 



Artiklen er skrevet af
Relaterede artikler: Matematik






Opdaget en fejl?

Har du spørgsmål?

Rettet opgave?